泰勒定理的奇闻轶事

作者: 日期:2019-09-11
泰勒展式 的剩余项救人一命!在俄国革命期间,数学物理学家塔姆 外出找食物,在靠近敖德萨 的乡间被反共产主义的保安人员逮捕。保安人员怀疑他是反乌克兰的共产主义者,于是把他带回总部。头目问:你是做什么的?塔姆:我是一位数学家。       头目心存怀疑,拿着枪,手指扣着扳机,对准他。       手榴弹也在他的面前晃动。头目说:好吧,那么一个函数作泰勒展开到第 n 项之后,你就把误差项算出来。如果你算对了,就放你一条生路,否则就立刻枪毙。于是塔姆手指发抖,战战兢兢地慢慢计算,当他完成时,头目看过答案,挥手叫他赶快离开。塔姆在1958年获得诺贝尔物理奖,但是他从未再遇到或认出这位非凡的头目。笔者讲授微积分,每教到泰勒定理时,都要顺便说这个故事,让学生警惕一番。泰勒展开定理就是要利用微分与积分工具,来剖析函数的结构。假设函数 f 定义在开区间  上,并且 ,当我们知道 f 的资讯越多,对f 的剖析就越精细。这个资讯包括两方面,一个是 f 的可微分的阶数逐渐提高,这是一种泛泛的条件;另一个是 f 在一点 c 的各阶微分系数的阶数也不断增加,这是在一点的资讯之逐渐加深。 若 f 为一阶连续可微分,并已知 f 之值,那么由微积分根本定理的 Newton-Leibniz 公式知 
亦即 f 可以剖析为清楚的 f 与尚未完全清楚的  两项之和。 若 f 为二阶连续可微分,并且已知 f 与 f' 的值,那么由式与分部积分公式得知 
从而 
亦即 f 可以剖析为清楚的一次多项式 f+f' 与尚未完全清楚的。 若 f 为三阶连续可微分,并且已知f, f' 与 f'' 之值,那么由式与分部积分公式得知 
从而 
亦即 f 可以剖析成清楚的二次多项式 
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